Inégalité de Necas et quelques applications

Déroulement du raisonnement: l’idée est d’abord de constater, en passant en Fourier, que l’inégalité est triviale lorsque Ω = R (Fait 1). Lorsque Ω est un demi-espace, on se ramène par symétrie au cas de l’espace entier mais, pour que cette symétrie envoie H(Ω) dans H(R ), il faut que son opération duale envoie H(R ) dans H 0 (Ω) ( ), d’où la nécessité de faire une symétrie astucieuse qui gère correctement les valeurs sur le bord de Ω (Fait 2). Lorsque Ω est un ouvert général, c’est une combinaison de localisations (Fait 3) et de transports qui permet de revenir au demi-espace; cependant, lorsque l’on transporte H et que l’on cherche à voir comment l’opération duale agit sur H 0 , on se rend compte que le jacobien du transport apparâıt en facteur: il faut alors que ce produit “jacobien × élément de H 0” reste dans H 1 0 , ce qui peut poser un soucis lorsque le jacobien n’est pas C , i.e. que le transport n’est pas C... or c’est justement le cas pour les ouverts qui ne sont que lipschitziens (la dérivée seconde du transport explose forcément au bord de l’ouvert); on s’en sort alors en construisant des transports réguliers à l’intérieur de l’ouvert et dont la dérivée seconde explose effectivement au bord de l’ouvert (Fait 4), mais pas trop vite de sorte que le produit “jacobien × élément de H 0” reste effectivement dans H 0 grâce au lemme de Hardy (Fait 5). Une dernière constatation assure que, lorsque l’on a obtenu des éléments de H à supports compacts grâce aux localisations, on peut naturellement les étendre par 0 sans perturber les estimations (Fait 6). L’inégalité de Necas est alors une conséquence directe des 6 faits mentionnés.